（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图$1$：
$\because$底面长$AB=3$，宽$BC=4$，高$BD=5$，$F$是$DE$边的中点，
根据勾股定理得，$AF=\sqrt{(3+2)^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图$2$：
$\because$底面长$AB=3$，宽$BC=4$，高$BD=5$，$F$是$DE$边的中点，
根据勾股定理得，$AF=\sqrt{{3}^{2}+(5+2)^{2}}=\sqrt{58}$；
只要把长方体的上表面剪开与左侧面所在的平面形成一个长方形，如图$3$：
$\because$底面长$AB=3$，宽$BC=4$，高$BD=5$，$F$是$DE$边的中点，
根据勾股定理得，$AF=\sqrt{(3+5)^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{68}$；
$\because 5\sqrt{2} \lt \sqrt{58} \lt \sqrt{68}$，
$\therefore$蚂蚁爬行的最短距离是$5\sqrt{2}$，
故答案为：$5\sqrt{2}$.

（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图$1$：
$\because$底面长$AB=3$，宽$BC=4$，高$BD=5$，$F$是$DE$边的中点，
根据勾股定理得，$AF=\sqrt{(3+2)^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图$2$：
$\because$底面长$AB=3$，宽$BC=4$，高$BD=5$，$F$是$DE$边的中点，
根据勾股定理得，$AF=\sqrt{{3}^{2}+(5+2)^{2}}=\sqrt{58}$；
只要把长方体的上表面剪开与左侧面所在的平面形成一个长方形，如图$3$：
$\because$底面长$AB=3$，宽$BC=4$，高$BD=5$，$F$是$DE$边的中点，
根据勾股定理得，$AF=\sqrt{(3+5)^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{68}$；
$\because 5\sqrt{2} \lt \sqrt{58} \lt \sqrt{68}$，
$\therefore$蚂蚁爬行的最短距离是$5\sqrt{2}$，
故答案为：$5\sqrt{2}$.