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八年级数学填空题一般
题目
【发现规律】
小官同学在学完等腰三角形后发现一个有趣的现象:
若△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE是等腰三角形,AB=ACAB=AC,AD=AEAD=AE,且∠BAC=∠DAE\angle BAC=\angle DAE,连接BDBD,CECE交于点OO.当△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE处于不同位置时总有BD=CEBD=CE.
【探究规律】
(1)(1)你认同小官同学的发现吗?如果认同,请以图11为例,证明结论；若不认同,请说明理由.
(2)(2)你还有其他的发现吗?请写出结论,简述理由.
【应用规律】
(3)(3)如图22,在等边△ABC\triangle ABC中,MM是BCBC上一点,NN是ACAC上一动点,以MNMN为边作等边△MNF\triangle MNF,连接CFCF,猜想CNCN,CFCF与CMCM之间的数量关系为______.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

（1）认同，
证明：∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE\therefore \angle BAC+\angle CAD=\angle CAD+\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD与△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴BD=CE\therefore BD=CE；
(2)∠BOC=∠BAC(2)\angle BOC=\angle BAC，
证明：如图11，设ACAC，BDBD交于GG，

由（1）知,△BAD,\triangle BAD≌△CAE\triangle CAE，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
∵∠AGB=∠CGO\because \angle AGB=\angle CGO，
∴∠BAG=∠BOC\therefore \angle BAG=\angle BOC；
(3)CN+CF=CM(3)CN+CF=CM；
理由：在CMCM上截取CH=CNCH=CN，如图22所示：

∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠NCH=60∘\therefore \angle NCH=60^{\circ}，
∴△CNH\therefore \triangle CNH是等边三角形，
∴NH=NC=CH\therefore NH=NC=CH，∠CNH=60∘\angle CNH=60^{\circ}，
∵△MNF\because \triangle MNF是等边三角形，
∴NM=FN\therefore NM=FN，∠MNF=60∘\angle MNF=60^{\circ}，
∴∠MNH+∠HNF=∠FNC+∠HNF=60∘\therefore \angle MNH+\angle HNF=\angle FNC+\angle HNF=60^{\circ}，
∴∠MNH=∠FNC\therefore \angle MNH=\angle FNC，
在△MNH\triangle MNH和△FNC\triangle FNC中，
{MN=FN∠MNH=∠FNCNH=NC\left\{\begin{array}{l}{MN=FN}\\{∠MNH=∠FNC}\\{NH=NC}\end{array}\right.，
∴△MNH\therefore \triangle MNH≌△FNC(SAS)\triangle FNC\left(SAS\right)，
∴MH=CF\therefore MH=CF，
∴CM=CH+DH=CN+CF\therefore CM=CH+DH=CN+CF，
∴CN+CF=CM\therefore CN+CF=CM，
故答案为：CN+CF=CMCN+CF=CM.

解析

（1）认同，
证明：∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE\therefore \angle BAC+\angle CAD=\angle CAD+\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD与△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴BD=CE\therefore BD=CE；
(2)∠BOC=∠BAC(2)\angle BOC=\angle BAC，
证明：如图11，设ACAC，BDBD交于GG，

由（1）知,△BAD,\triangle BAD≌△CAE\triangle CAE，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
∵∠AGB=∠CGO\because \angle AGB=\angle CGO，
∴∠BAG=∠BOC\therefore \angle BAG=\angle BOC；
(3)CN+CF=CM(3)CN+CF=CM；
理由：在CMCM上截取CH=CNCH=CN，如图22所示：

∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠NCH=60∘\therefore \angle NCH=60^{\circ}，
∴△CNH\therefore \triangle CNH是等边三角形，
∴NH=NC=CH\therefore NH=NC=CH，∠CNH=60∘\angle CNH=60^{\circ}，
∵△MNF\because \triangle MNF是等边三角形，
∴NM=FN\therefore NM=FN，∠MNF=60∘\angle MNF=60^{\circ}，
∴∠MNH+∠HNF=∠FNC+∠HNF=60∘\therefore \angle MNH+\angle HNF=\angle FNC+\angle HNF=60^{\circ}，
∴∠MNH=∠FNC\therefore \angle MNH=\angle FNC，
在△MNH\triangle MNH和△FNC\triangle FNC中，
{MN=FN∠MNH=∠FNCNH=NC\left\{\begin{array}{l}{MN=FN}\\{∠MNH=∠FNC}\\{NH=NC}\end{array}\right.，
∴△MNH\therefore \triangle MNH≌△FNC(SAS)\triangle FNC\left(SAS\right)，
∴MH=CF\therefore MH=CF，
∴CM=CH+DH=CN+CF\therefore CM=CH+DH=CN+CF，
∴CN+CF=CM\therefore CN+CF=CM，
故答案为：CN+CF=CMCN+CF=CM.

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