【发现规律】
小官同学在学完等腰三角形后发现一个有趣的现象:
若$\triangle ABC$与$\triangle ADE$是等腰三角形,$AB=AC$,$AD=AE$,且$\angle BAC=\angle DAE$,连接$BD$,$CE$交于点$O$.当$\triangle ABC$与$\triangle ADE$处于不同位置时总有$BD=CE$.
【探究规律】
$(1)$你认同小官同学的发现吗?如果认同,请以图$1$为例,证明结论；若不认同,请说明理由.
$(2)$你还有其他的发现吗?请写出结论,简述理由.
【应用规律】
$(3)$如图$2$,在等边$\triangle ABC$中,$M$是$BC$上一点,$N$是$AC$上一动点,以$MN$为边作等边$\triangle MNF$,连接$CF$,猜想$CN$,$CF$与$CM$之间的数量关系为______.