在$AC$上截取$CG=AB=4$，连接$OG$，

$\because$四边形$BCEF$是正方形，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore OB=OC$，$\angle BAC=\angle BOC=90^{\circ}$，
$\therefore B$、$A$、$O$、$C$四点共圆，
$\therefore \angle ABO=\angle ACO$，
在$\triangle BAO$和$\triangle CGO$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CG}\\{∠BAO=∠GCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAO$≌$\triangle CGO\left(SAS\right)$，
$\therefore OA=OG=2\sqrt{2}$，$\angle AOB=\angle COG$，
$\because \angle BOC=\angle COG+\angle BOG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOG=\angle AOB+\angle BOG=90^{\circ}$，
即$\triangle AOG$是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{A{O}^{2}+O{G}^{2}}=4$，
即$AC=AG+CG=4+4=8$，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
$\therefore$正方形$CBFE$的面积$=BC^{2}=80$，
故答案为：$80$.

在$AC$上截取$CG=AB=4$，连接$OG$，

$\because$四边形$BCEF$是正方形，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore OB=OC$，$\angle BAC=\angle BOC=90^{\circ}$，
$\therefore B$、$A$、$O$、$C$四点共圆，
$\therefore \angle ABO=\angle ACO$，
在$\triangle BAO$和$\triangle CGO$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CG}\\{∠BAO=∠GCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAO$≌$\triangle CGO\left(SAS\right)$，
$\therefore OA=OG=2\sqrt{2}$，$\angle AOB=\angle COG$，
$\because \angle BOC=\angle COG+\angle BOG=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOG=\angle AOB+\angle BOG=90^{\circ}$，
即$\triangle AOG$是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{A{O}^{2}+O{G}^{2}}=4$，
即$AC=AG+CG=4+4=8$，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
$\therefore$正方形$CBFE$的面积$=BC^{2}=80$，
故答案为：$80$.