A

①当$4$为底时，其它两边都为$8$，
$4$、$8$、$8$可以构成三角形，
周长为$20$；
②当$4$为腰时，
其它两边为$4$和$8$，
$\because 4+4=8$，
$\therefore$不能构成三角形，故舍去.
$\therefore$这个等腰三角形的周长为$20$.
故选：$A$.