A

①若$|x|=-x$，则$x$可能是负数，也可能是零，故该说法错误；
②小于$1$的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故该说法错误；
③除以一个数$(0$除外）等于乘以这个数的倒数，故该说法错误；
④若$|a|=|b|$，则$a=\pm b$，该说法正确；
⑤若$ab\geqslant 0$，则$a\geqslant 0$且$b\geqslant 0$或$a\leqslant 0$且$b\leqslant 0$，故该说法错误.
综上所述，说法正确的有$1$个.
故选：$A$.