$\because |a|=5$，$|b|=3$，
$\therefore a=\pm 5$，$b=\pm 3$，
$(1)$若$ab \lt 0$，
则$a=5$，$b=-3$或$a=-5$，$b=3$，
①$a=5$，$b=-3$时，
$a+b=5-3=2$.
②$a=-5$，$b=3$时，
$a+b=-5+3=-2$.
$(2)$若$|a+b|=a+b$，
则$a+b\geqslant 0$，
$\therefore a=5$，$b=-3$或$3$，
$\therefore a-b=5-\left(-3\right)=8$，
或$a=5$，$b=3$时，$a-b=5-3=2$.
故$a-b=8$或$2$.

$\because |a|=5$，$|b|=3$，
$\therefore a=\pm 5$，$b=\pm 3$，
$(1)$若$ab \lt 0$，
则$a=5$，$b=-3$或$a=-5$，$b=3$，
①$a=5$，$b=-3$时，
$a+b=5-3=2$.
②$a=-5$，$b=3$时，
$a+b=-5+3=-2$.
$(2)$若$|a+b|=a+b$，
则$a+b\geqslant 0$，
$\therefore a=5$，$b=-3$或$3$，
$\therefore a-b=5-\left(-3\right)=8$，
或$a=5$，$b=3$时，$a-b=5-3=2$.
故$a-b=8$或$2$.