D

①如图，

$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$P$是$BC$中点，
$\therefore AP=CP$，$AP\bot BC$，
$\therefore \angle APC=\angle APF+\angle 2=90^{\circ}$，
$\because \angle EPF=\angle 1+\angle APF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
同理得：$\angle 3=\angle 4$，
在$\triangle APE$与$\triangle CPF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AP=PC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，
故①正确；
②由$\triangle APE$≌$\triangle CPF$得到$PE=PF$，
$\because \angle EPF$是直角，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，故②正确；
③由$\triangle APE$≌$\triangle CPF$得到$S_{\triangle APE}=S_{\triangle CPF}$，则$S_{四边形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle APF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，故③正确；
④当$FP\bot AC$时，$FP$的值最小，此时$PF=\frac{1}{2}AB=1$.故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④，共有$4$个.
故选：$D$.