证明：如图，连接$AF$，$BD$，

$\because F$为$BC$的中点，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore AF\bot BC$，
$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，
$\therefore AD=AE$，$AB=AC$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，$\angle ADE=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAB=\angle EAC$，
在$\triangle ADB$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADB$≌$\triangle AEC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ACE=\angle ABD$，
$\because \angle ADE=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore$点$A$，点$F$，点$B$，点$D$四点共圆，
$\therefore \angle ABD=\angle AFD$，
$\therefore \angle ABD=\angle AFD=\angle ACE$，
$\therefore$点$A$，点$C$，点$F$，点$E$四点共圆，
$\therefore \angle AEC=\angle AFC=90^{\circ}$.

证明：如图，连接$AF$，$BD$，

$\because F$为$BC$的中点，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore AF\bot BC$，
$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，
$\therefore AD=AE$，$AB=AC$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，$\angle ADE=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAB=\angle EAC$，
在$\triangle ADB$和$\triangle AEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADB$≌$\triangle AEC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ACE=\angle ABD$，
$\because \angle ADE=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore$点$A$，点$F$，点$B$，点$D$四点共圆，
$\therefore \angle ABD=\angle AFD$，
$\therefore \angle ABD=\angle AFD=\angle ACE$，
$\therefore$点$A$，点$C$，点$F$，点$E$四点共圆，
$\therefore \angle AEC=\angle AFC=90^{\circ}$.