$(1)$证明：$\because PM$∥$BD,PN$∥$AC$，
$\therefore$四边形$OMPN$是平行四边形.
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，
$\therefore \angle AOD=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$OMPN$是矩形；
$(2)$$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AC=12$，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AC=6$，
$\therefore OD=\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}=8$.
$\because$四边形$OMPN$是矩形，$PM=PN$，
$\therefore$矩形$OMPN$是正方形，
$\therefore PM=PN=OM=ON$.
$\because PM\bot OA$，$AC\bot BD$，
$\therefore PM$∥$BD$，
$\therefore \angle AMP=\angle AOD$，$\angle APM=\angle ADO$.
$\therefore \triangle AMP$∽$\triangle AOD$，
$\therefore \frac{AM}{AO}=\frac{MP}{OD}$.
设$PM=PN=OM=ON=x$，
$\therefore \frac{6-x}{6}=\frac{x}{8}$，
解得$x=\frac{24}{7}$，
即$OM=\frac{24}{7}$.

$(1)$证明：$\because PM$∥$BD,PN$∥$AC$，
$\therefore$四边形$OMPN$是平行四边形.
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，
$\therefore \angle AOD=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$OMPN$是矩形；
$(2)$$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AC=12$，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AC=6$，
$\therefore OD=\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}=8$.
$\because$四边形$OMPN$是矩形，$PM=PN$，
$\therefore$矩形$OMPN$是正方形，
$\therefore PM=PN=OM=ON$.
$\because PM\bot OA$，$AC\bot BD$，
$\therefore PM$∥$BD$，
$\therefore \angle AMP=\angle AOD$，$\angle APM=\angle ADO$.
$\therefore \triangle AMP$∽$\triangle AOD$，
$\therefore \frac{AM}{AO}=\frac{MP}{OD}$.
设$PM=PN=OM=ON=x$，
$\therefore \frac{6-x}{6}=\frac{x}{8}$，
解得$x=\frac{24}{7}$，
即$OM=\frac{24}{7}$.