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八年级数学填空题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},分别以△ABC\triangle ABC的三边为边向外构造正方形ABDEABDE,BCGFBCGF,ACHIACHI,分别记正方形BCGFBCGF,ACHIACHI的面积为S1S_{1},S2S_{2}.
(1)(1)比较CECE,BIBI的大小:CE______BICE \_\_\_\_\_\_BI；
(2)(2)若∠ACE=30∘\angle ACE=30^{\circ},则S1S2\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}的值为______.
知识点：三角形、解直角三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵ACHI\left(1\right)\because ACHI为正方形，
∴AI=AC\therefore AI=AC，∠IAC=90∘\angle IAC=90^{\circ}，
∵ABDE\because ABDE为正方形，
∴AB=AE\therefore AB=AE，∠EAB=90∘\angle EAB=90^{\circ}，
∴∠IAB=∠CAE=90∘+∠CAB\therefore \angle IAB=\angle CAE=90^{\circ}+\angle CAB，
在△AIB\triangle AIB和△ACE\triangle ACE中，
{AI=ACAB=AEIAB=∠CAE\left\{\begin{array}{l}AI=AC\\ AB=AE\\ IAB=∠CAE\end{array}\right.，
∴△AIB\therefore \triangle AIB≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴CE=BI\therefore CE=BI，
故答案为：==；
(2)(2)作EQ⊥CAEQ\bot CA交CACA的延长线于点QQ，则∠Q=90∘\angle Q=90^{\circ}，

设BC=aBC=a，AC=bAC=b，则S1=BC2=a2{S}_{1}=B{C}^{2}={a}^{2}，S2=AC2=b2{S}_{2}=A{C}^{2}={b}^{2}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，∠Q=90∘\angle Q=90^{\circ}，∠EAB=90∘\angle EAB=90^{\circ}，
∴∠QAB=∠ABC=90∘−∠CAB\therefore \angle QAB=\angle ABC=90^{\circ}-\angle CAB，
∵AB=AE\because AB=AE，
∴△AEQ\therefore \triangle AEQ≌△BAC(AAS)\triangle BAC\left(AAS\right)，
∴AQ=BC=a\therefore AQ=BC=a，QE=AC=bQE=AC=b，
∴QC=QA+AC=a+b\therefore QC=QA+AC=a+b
∵∠ACE=30∘\because \angle ACE=30^{\circ}，
∴EC=2QE\therefore EC=2QE，
∴QC=EC2−QE2=3QE\therefore QC=\sqrt{E{C}^{2}-Q{E}^{2}}=\sqrt{3}QE，
∴a+b=3b\therefore a+b=\sqrt{3}b，
∴a=(3−1)b\therefore a=(\sqrt{3}-1)b
∴S1S2=a2b2=(3−1)2b2b2=4−23\therefore \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{(\sqrt{3}-1)}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}}=4-2\sqrt{3}，
故答案为：4−234-2\sqrt{3}.

解析

(1)∵ACHI\left(1\right)\because ACHI为正方形，
∴AI=AC\therefore AI=AC，∠IAC=90∘\angle IAC=90^{\circ}，
∵ABDE\because ABDE为正方形，
∴AB=AE\therefore AB=AE，∠EAB=90∘\angle EAB=90^{\circ}，
∴∠IAB=∠CAE=90∘+∠CAB\therefore \angle IAB=\angle CAE=90^{\circ}+\angle CAB，
在△AIB\triangle AIB和△ACE\triangle ACE中，
{AI=ACAB=AEIAB=∠CAE\left\{\begin{array}{l}AI=AC\\ AB=AE\\ IAB=∠CAE\end{array}\right.，
∴△AIB\therefore \triangle AIB≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴CE=BI\therefore CE=BI，
故答案为：==；
(2)(2)作EQ⊥CAEQ\bot CA交CACA的延长线于点QQ，则∠Q=90∘\angle Q=90^{\circ}，

设BC=aBC=a，AC=bAC=b，则S1=BC2=a2{S}_{1}=B{C}^{2}={a}^{2}，S2=AC2=b2{S}_{2}=A{C}^{2}={b}^{2}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，∠Q=90∘\angle Q=90^{\circ}，∠EAB=90∘\angle EAB=90^{\circ}，
∴∠QAB=∠ABC=90∘−∠CAB\therefore \angle QAB=\angle ABC=90^{\circ}-\angle CAB，
∵AB=AE\because AB=AE，
∴△AEQ\therefore \triangle AEQ≌△BAC(AAS)\triangle BAC\left(AAS\right)，
∴AQ=BC=a\therefore AQ=BC=a，QE=AC=bQE=AC=b，
∴QC=QA+AC=a+b\therefore QC=QA+AC=a+b
∵∠ACE=30∘\because \angle ACE=30^{\circ}，
∴EC=2QE\therefore EC=2QE，
∴QC=EC2−QE2=3QE\therefore QC=\sqrt{E{C}^{2}-Q{E}^{2}}=\sqrt{3}QE，
∴a+b=3b\therefore a+b=\sqrt{3}b，
∴a=(3−1)b\therefore a=(\sqrt{3}-1)b
∴S1S2=a2b2=(3−1)2b2b2=4−23\therefore \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{(\sqrt{3}-1)}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}}=4-2\sqrt{3}，
故答案为：4−234-2\sqrt{3}.

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