$\left(1\right)\because ab \lt 0$，$b \gt 0$，
$\therefore a \lt 0$，
$\because |a| \lt |b|$，
$\therefore a+b \gt 0$，
故答案为：$\gt$；
$(2)\because abc \lt 0$，$ab \gt 0$，
$\therefore c \lt 0$，
故答案为：$\lt$；
$(3)$当$a$、$b$、$c$均为正数时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}=1+1+1=3$；
当$a$、$b$、$c$均为负数时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=-1-1-1=-3$；
当$a$、$b$、$c$中有两个正数一负数时，不妨设$a \gt 0$，$b \gt 0$，$c \lt 0$，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{-c}=1+1-1=1$；
当$a$、$b$、$c$中有一个正数两个负数时，不妨设$a \gt 0$，$b \lt 0$，$c \lt 0$，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=1-1-1=-1$，
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为$\pm 3$或$\pm 1$，
故答案为：$\pm 3$或$\pm 1$；.
$(4)\because a$与$b$都是整数，且$|a|+|b|=1$，
分情况讨论：
①$a=1$，$b=0$，此时$a+b=1$；
②$a=0$，$b=1$，此时$a+b=1$；
③$a=-1$，$b=0$，此时$a+b=-1$；
④$a=0$，$b=-1$，此时$a+b=-1$，
$\therefore a+b$的值为$\pm 1$.

$\left(1\right)\because ab \lt 0$，$b \gt 0$，
$\therefore a \lt 0$，
$\because |a| \lt |b|$，
$\therefore a+b \gt 0$，
故答案为：$\gt$；
$(2)\because abc \lt 0$，$ab \gt 0$，
$\therefore c \lt 0$，
故答案为：$\lt$；
$(3)$当$a$、$b$、$c$均为正数时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}=1+1+1=3$；
当$a$、$b$、$c$均为负数时，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=-1-1-1=-3$；
当$a$、$b$、$c$中有两个正数一负数时，不妨设$a \gt 0$，$b \gt 0$，$c \lt 0$，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{-c}=1+1-1=1$；
当$a$、$b$、$c$中有一个正数两个负数时，不妨设$a \gt 0$，$b \lt 0$，$c \lt 0$，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}=\frac{a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=1-1-1=-1$，
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}$的值为$\pm 3$或$\pm 1$，
故答案为：$\pm 3$或$\pm 1$；.
$(4)\because a$与$b$都是整数，且$|a|+|b|=1$，
分情况讨论：
①$a=1$，$b=0$，此时$a+b=1$；
②$a=0$，$b=1$，此时$a+b=1$；
③$a=-1$，$b=0$，此时$a+b=-1$；
④$a=0$，$b=-1$，此时$a+b=-1$，
$\therefore a+b$的值为$\pm 1$.