由$k=\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，
当$a+b+c=0$，$k=-2$；
当$a+b+c\neq 0$，$k=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$；
由$\sqrt{m-5}+n^{2}+9=6n$，得$\sqrt{m-5}+\left(n-3\right)^{2}=0$，
所以$m=5$，$n=3$；
则一次函数为$y=-2x+8$或$y=x+8$.
$y=-2x+8$过第$1$、$2$、$4$象限；
$y=x+8$过第$1$、$2$、$3$象限，
所以一次函数$y=kx+m+n$的图象一定经过第$1$、$2$象限.
故答案为一、二.

由$k=\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，
当$a+b+c=0$，$k=-2$；
当$a+b+c\neq 0$，$k=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$；
由$\sqrt{m-5}+n^{2}+9=6n$，得$\sqrt{m-5}+\left(n-3\right)^{2}=0$，
所以$m=5$，$n=3$；
则一次函数为$y=-2x+8$或$y=x+8$.
$y=-2x+8$过第$1$、$2$、$4$象限；
$y=x+8$过第$1$、$2$、$3$象限，
所以一次函数$y=kx+m+n$的图象一定经过第$1$、$2$象限.
故答案为一、二.