连接$AE$、$AG$，
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE=BE=3$，
$\because FG$垂直平分$AC$，
$\therefore AG=CG$，
$\because BE=3$，$EG=4$，$BC=12$，
$\therefore CG=AG=5$，
在$\triangle AEG$中，$AE^{2}=9$，$EG^{2}=16$，$AG^{2}=25$，
$\therefore AE^{2}+EG^{2}=AG^{2}$，
$\therefore \triangle AEG$为直角三角形，
$\therefore AE\bot BC$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}\times 12\times 3=18$，
故答案为：$18$.

连接$AE$、$AG$，根据线段垂直平分线的性质得到$AE=BE=3$，$AG=CG$，根据题意求出$AG$，根据勾股定理的逆定理得到$AE\bot BC$，根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【点评】

本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

连接$AE$、$AG$，
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE=BE=3$，
$\because FG$垂直平分$AC$，
$\therefore AG=CG$，
$\because BE=3$，$EG=4$，$BC=12$，
$\therefore CG=AG=5$，
在$\triangle AEG$中，$AE^{2}=9$，$EG^{2}=16$，$AG^{2}=25$，
$\therefore AE^{2}+EG^{2}=AG^{2}$，
$\therefore \triangle AEG$为直角三角形，
$\therefore AE\bot BC$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}\times 12\times 3=18$，
故答案为：$18$.

连接$AE$、$AG$，根据线段垂直平分线的性质得到$AE=BE=3$，$AG=CG$，根据题意求出$AG$，根据勾股定理的逆定理得到$AE\bot BC$，根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【点评】

本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.