C

如图，延长$BC$，使$CM=AE=1$，则$\angle DCM=\angle A=90^{\circ}$，

在$\triangle DCM$和$\triangle DAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}DC=DA\\∠DCM=∠A=90°\\ CM=AE\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DCM$≌$\triangle DAE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle CDM=\angle ADE$，$DM=DE$，
$\because \angle ADC=90^{\circ}$，$\angle EDF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE+\angle CDF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CDM+\angle CDF=45^{\circ}$，
即$\angle MDF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle MDF=\angle EDF$，
在$\triangle MDF$和$\triangle EDF$中，
$\left\{\begin{array}{l}DM=DE\\∠MDF=∠EDF\\ DF=DF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle MDF$≌$\triangle EDF\left(SAS\right)$，
$\therefore MF=EF$，
设$CF=a$，则$MF=EF=a+1$，$BF=4-a$，
$\because AE=1$，$AB=4$，
$\therefore BE=4-1=3$，
在$Rt\triangle EBF$中，$BE^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，
即$3^{2}+\left(4-a\right)^{2}=\left(a+1\right)^{2}$，
解得$a=\frac{12}{5}$，
$\therefore EF=\frac{12}{5}+1=\frac{17}{5}$，
故选：$C$.