特例感知：
①等腰直角三角形是勾股高三角形.
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，
则斜边长为$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2}a$，
$\because {(\sqrt{2}a)}^{2}-{a}^{2}={a}^{2}$，
$\because$等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
$\therefore$等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
②$\because CD$是$AB$边上的高，$BD=1$，$AD=2$，
$\therefore CB^{2}=CD^{2}+BD^{2}=CD^{2}+1$，$CA^{2}=CD^{2}+AD^{2}=CD^{2}+4$，
$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CD^{2}=CA^{2}-CB^{2}$，
$\therefore CD^{2}=(CD^{2}+4)-(CD^{2}+1)$，
解得：$CD=\sqrt{3}$或$CD=-\sqrt{3}($负值不符合题意，舍去），
$\therefore$线段$CD$的长为$\sqrt{3}$；
深入探究：$AD=CB$.
证明：$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点且$CA \gt CB$，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CA^{2}-CB^{2}=CD^{2}$，
$\therefore CA^{2}-CD^{2}=CB^{2}$，
$\because CA^{2}-CD^{2}=AD^{2}$，
$\therefore AD^{2}=CB^{2}$，
$\therefore AD=CB$；
$\cdot$推广应用：
过点$A$作$AG\bot ED$于$G$，如图，

$\therefore \angle AGD=90^{\circ}$，
$\because$等腰$\triangle ABC$为勾股高三角形，且$AB=AC \gt BC$，$CD$为$AB$边上的高，
$\therefore AC^{2}-BC^{2}=CD^{2}$，$\angle CDB=90^{\circ}$，
由上问可知：$AD=BC$，
$\because ED$∥$BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle ACB$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ACB=\angle B$，
$\therefore \angle ADE=\angle AED$，
$\therefore AE=AD$，
$\because \angle AGD=\angle CDB=90^{\circ}$，
在$\triangle AGD$和$\triangle CDB$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AGD=∠CDB\\∠ADG=∠CBD\\ AD=CB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AGD$≌$\triangle CDB\left(AAS\right)$，
$\therefore DG=BD$，
$\because \triangle ADE$为等腰三角形，
$\therefore ED=2DG=2BD$，
$\because AB=AC$，$AE=AD$，$CE=a$，
$\therefore BD=CE=a$，
$\therefore ED=2a$，
$\therefore$线段$DE$的长度为$2a$.

特例感知：
①等腰直角三角形是勾股高三角形.
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，
则斜边长为$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2}a$，
$\because {(\sqrt{2}a)}^{2}-{a}^{2}={a}^{2}$，
$\because$等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
$\therefore$等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
②$\because CD$是$AB$边上的高，$BD=1$，$AD=2$，
$\therefore CB^{2}=CD^{2}+BD^{2}=CD^{2}+1$，$CA^{2}=CD^{2}+AD^{2}=CD^{2}+4$，
$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CD^{2}=CA^{2}-CB^{2}$，
$\therefore CD^{2}=(CD^{2}+4)-(CD^{2}+1)$，
解得：$CD=\sqrt{3}$或$CD=-\sqrt{3}($负值不符合题意，舍去），
$\therefore$线段$CD$的长为$\sqrt{3}$；
深入探究：$AD=CB$.
证明：$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点且$CA \gt CB$，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CA^{2}-CB^{2}=CD^{2}$，
$\therefore CA^{2}-CD^{2}=CB^{2}$，
$\because CA^{2}-CD^{2}=AD^{2}$，
$\therefore AD^{2}=CB^{2}$，
$\therefore AD=CB$；
$\cdot$推广应用：
过点$A$作$AG\bot ED$于$G$，如图，

$\therefore \angle AGD=90^{\circ}$，
$\because$等腰$\triangle ABC$为勾股高三角形，且$AB=AC \gt BC$，$CD$为$AB$边上的高，
$\therefore AC^{2}-BC^{2}=CD^{2}$，$\angle CDB=90^{\circ}$，
由上问可知：$AD=BC$，
$\because ED$∥$BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle ACB$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ACB=\angle B$，
$\therefore \angle ADE=\angle AED$，
$\therefore AE=AD$，
$\because \angle AGD=\angle CDB=90^{\circ}$，
在$\triangle AGD$和$\triangle CDB$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AGD=∠CDB\\∠ADG=∠CBD\\ AD=CB\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AGD$≌$\triangle CDB\left(AAS\right)$，
$\therefore DG=BD$，
$\because \triangle ADE$为等腰三角形，
$\therefore ED=2DG=2BD$，
$\because AB=AC$，$AE=AD$，$CE=a$，
$\therefore BD=CE=a$，
$\therefore ED=2a$，
$\therefore$线段$DE$的长度为$2a$.