$\left(1\right)\because EF$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore FB=FA$，
$\because MN$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore NA=NC$，
$\therefore BF+FN+NC=AF+FN+AN=BC=10\left(cm\right)$，
$\therefore \triangle AFN$的周长为$10cm$.
$(2)$在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=118^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=180-\angle BAC=180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}$，
由（1）可得，$FB=FA$，$NA=NC$，
$\therefore \triangle ABF$，$\triangle ACN$是等腰三角形，
$\therefore \angle B=\angle BAF$，$\angle C=\angle CAN$，
$\therefore \angle BAF+\angle CAN=\angle B+\angle C=62^{\circ}$，
$\therefore \angle FAN=\angle BAC-\left(\angle BAF+\angle CAN\right)=118^{\circ}-62^{\circ}=56^{\circ}$，
即$\angle FAN$的度数为$56^{\circ}$.

$\left(1\right)\because EF$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore FB=FA$，
$\because MN$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore NA=NC$，
$\therefore BF+FN+NC=AF+FN+AN=BC=10\left(cm\right)$，
$\therefore \triangle AFN$的周长为$10cm$.
$(2)$在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=118^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle C=180-\angle BAC=180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}$，
由（1）可得，$FB=FA$，$NA=NC$，
$\therefore \triangle ABF$，$\triangle ACN$是等腰三角形，
$\therefore \angle B=\angle BAF$，$\angle C=\angle CAN$，
$\therefore \angle BAF+\angle CAN=\angle B+\angle C=62^{\circ}$，
$\therefore \angle FAN=\angle BAC-\left(\angle BAF+\angle CAN\right)=118^{\circ}-62^{\circ}=56^{\circ}$，
即$\angle FAN$的度数为$56^{\circ}$.