C

$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$P$是$BC$中点，
$\therefore AP=CP$，

$\because \angle APE$、$\angle CPF$都是$\angle APF$的余角，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
在$\triangle APE$与$\triangle CPF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{AP=CP}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
同理可证$\triangle APF$≌$\triangle BPE$，
①由$\triangle APE$≌$\triangle CPF$得到$AE=CF$，故①正确；
②由$\triangle APE$≌$\triangle CPF$得到$PE=PF$，
$\because \angle EPF$是直角，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，故②正确；
③由$\triangle APE$≌$\triangle CPF$得到$S_{\triangle APE}=S_{\triangle CPF}$，
则$S_{四边形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle APF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，故③正确；
④$\because \triangle APF$≌$\triangle BPE,\triangle APE$≌$\triangle CPF$，
$\therefore BE=AF$，$CF=AE$，
$\therefore BE+CF=AF+AE \gt EF$，$\therefore$④错误；
故选：$C$.