C

如图，等边三角形$AB$边的垂直平分线上可作$3$个点$P$，
同理：$AC$、$BC$上也分别有$3$个点，另外，$\triangle ABC$的外心也是满足条件的一个点，
所以，共有$3+3+3+1=10$个.
故选：$C$.