B

$A$、若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a}{b}=\frac{4}{6}$，故本选项错误，不符合题意；
$B$、若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a}{b}=\frac{4}{6}$，故本选项正确，符合题意；
$C$、若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，$a:b=\left(a+2\right):\left(b+2\right)$不成立，故本选项错误，不符合题意；
$D$、若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，$a:b=3:2$不成立，故本选项错误，不符合题意；
故选：$B$.