$\because a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$|m|=2$，
$\therefore a+b=0$，$cd=1$，$m=-2$或$m=2$；
$(1)a+b=0$，$cd=1$，$m=-2$时，
$\therefore (-cd)^{2021}+\frac{a+b+1}{m}$
$=\left(-1\right)^{2021}+\frac{0+1}{-2}$
$=-1-\frac{1}{2}$
$=-1.5$；
$(2)a+b=0$，$cd=1$，$m=2$时，
$\therefore (-cd)^{2021}+\frac{a+b+1}{m}$
$=\left(-1\right)^{2021}+\frac{0+1}{2}$
$=-1+\frac{1}{2}$
$=-0.5$；
$\therefore (-cd)^{2021}+\frac{a+b+1}{m}=-1.5$或$-0.5$.
故答案为：$-1.5$或$-0.5$.

$\because a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$|m|=2$，
$\therefore a+b=0$，$cd=1$，$m=-2$或$m=2$；
$(1)a+b=0$，$cd=1$，$m=-2$时，
$\therefore (-cd)^{2021}+\frac{a+b+1}{m}$
$=\left(-1\right)^{2021}+\frac{0+1}{-2}$
$=-1-\frac{1}{2}$
$=-1.5$；
$(2)a+b=0$，$cd=1$，$m=2$时，
$\therefore (-cd)^{2021}+\frac{a+b+1}{m}$
$=\left(-1\right)^{2021}+\frac{0+1}{2}$
$=-1+\frac{1}{2}$
$=-0.5$；
$\therefore (-cd)^{2021}+\frac{a+b+1}{m}=-1.5$或$-0.5$.
故答案为：$-1.5$或$-0.5$.