C

如图，连接$CR$，

$\because$在矩形$ABCD$中，$R$，$P$分别是$AB$，$AD$上的点，当点$P$在$AD$上从点$A$向点$D$移动，而点$R$保持不动时，
$\therefore CR$的长度是定值，
$\because E$，$F$分别是$RP$，$PC$的中点，
$\therefore EF=\frac{1}{2}CR$，
$\therefore EF$的长度是定值.
故选：$C$.