B

设大小处于中间的边长是$x cm$，则最大的边是$\left(x+1\right)cm$，最小的边长是$\left(x-1\right)cm$.
则$\left(x+1\right)+x+\left(x-1\right)=12$，
解得：$x=4$，
则最短的边长是：$4-1=3cm$.
故选：$B$.