C

连接$AO$，
$\because BD$，$CE$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore O$是$\triangle ABC$的重心，
$\therefore OE=\frac{1}{3}CE$，
$\therefore S_{\triangle AEO}=\frac{1}{3}S_{\triangle ACE}$，
$\because S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
$\therefore S_{\triangle AEO}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}$，
同理：$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}$，
$\therefore$四边形$ADOE$的面积$=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=3$，
$\therefore \triangle ABC$的面积$=9$.
故选：$C$.