延长$AE$交$BC$于$F$，过$E$作$EH\bot AB$于$H$，

$\because \triangle ABC$中是等腰三角形，$BD$是边$AC$上的中线，
$\therefore BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=22.5^{\circ}$，$EF=EH$，
$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$AB=BC=2\sqrt{2}$，
$\therefore \angle BAC=\angle BCA=67.5^{\circ}$，
$\because \angle EAC=\angle CBD$，
$\therefore \angle EAC=\angle CBD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle BAF$、$\triangle AEH$是等腰直角三角形，
$\therefore AF=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=2$，$EH=\frac{\sqrt{2}}{2}AE$，
$\therefore AF=AE+EF=AE+EH=AE+\frac{\sqrt{2}}{2}AE=2$，解得$AE=4-2\sqrt{2}$，
$\therefore$线段$AE$的长度为$4-2\sqrt{2}$.
故答案为：$4-2\sqrt{2}$.

延长$AE$交$BC$于$F$，过$E$作$EH\bot AB$于$H$，

$\because \triangle ABC$中是等腰三角形，$BD$是边$AC$上的中线，
$\therefore BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBD=22.5^{\circ}$，$EF=EH$，
$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$AB=BC=2\sqrt{2}$，
$\therefore \angle BAC=\angle BCA=67.5^{\circ}$，
$\because \angle EAC=\angle CBD$，
$\therefore \angle EAC=\angle CBD=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle BAF$、$\triangle AEH$是等腰直角三角形，
$\therefore AF=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=2$，$EH=\frac{\sqrt{2}}{2}AE$，
$\therefore AF=AE+EF=AE+EH=AE+\frac{\sqrt{2}}{2}AE=2$，解得$AE=4-2\sqrt{2}$，
$\therefore$线段$AE$的长度为$4-2\sqrt{2}$.
故答案为：$4-2\sqrt{2}$.