定义:若以三条线段$a$,$b$,$c$为边能构成一个直角三角形,则称线段$a$,$b$,$c$是勾股线段组.
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$(1)$如图①,已知点$M$,$N$是线段$AB$上的点,线段$AM$,$MN$,$NB$是勾股线段组.若$AB=12$,$AM=3$,求$MN$的长；
$(2)$如图②,$\triangle ABC$中,$\angle A=17^{\circ}$,$\angle B=28^{\circ}$,边$AC$,$BC$的垂直平分线分别交$AB$于点$M$,$N$,求证:线段$AM$,$MN$,$NB$是勾股线段组；
$(3)$如图③,在等边$\triangle ABC$,$P$为$\triangle ABC$内一点,线段$AP$,$BP$,$CP$构成勾股线段组,$CP$为此线段组的最长线段,求$\angle APB$的度数.