$\left(1\right)\because AD$平分$\angle BAC$，$EF\bot AD$，
$\therefore \angle EAH=\angle FAH$，$\angle AHE=\angle AHF=90^{\circ}$，
在$\triangle AEH$和$\triangle AFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠FAH}\\{AH=AH}\\{∠AHE=∠AHF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEH$≌$\triangle AFH\left(ASA\right).$
$\therefore AE=AF$.
$(2)\because AC=6$，$CE=4$，
$\therefore AF=AE=AC-CE=6-4=2$.
$\because \angle C=90$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore AB=2AC=12$，
$\therefore BF=AB-AF=12-2=10$.

$(3)$由（1）中结论$\triangle AEH$≌$\triangle AFH$可知，$AD$垂直平分$EF$，故$DE=DF$.
则当$\triangle DEF$为直角三角形时，必是等腰直角三角形.
那么只能是$\angle EDF=90^{\circ}$，
$\because \angle B=30^{\circ}$，$AD$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAD=\frac{1}{2}∠CAB=30^{\circ}$，
$\therefore CD=\tan 30^{\circ}\times AC=2\sqrt{3}$，
设$CE=x$，由勾股定理得：$DE=\sqrt{12+{x}^{2}}$.
又$AE=AF=6-x$，$\angle CAB=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEF$为等边三角形，
$\therefore AE=AF=EF=6-x$.
$\because \triangle DEF$为直角三角形.
$\therefore EF^{2}=DF^{2}+DE^{2}$，即$\left(6-x\right)^{2}=\left(12+x\right)^{2}+\left(12+x\right)^{2}$，
解得：$x_{1}=4\sqrt{3}-6$，$x2=-4\sqrt{3}-6($不合题意，舍去)。
$\therefore BF=12-\left(6-x\right)=6+x=6+4\sqrt{3}-6=4\sqrt{3}$.

$\left(1\right)\because AD$平分$\angle BAC$，$EF\bot AD$，
$\therefore \angle EAH=\angle FAH$，$\angle AHE=\angle AHF=90^{\circ}$，
在$\triangle AEH$和$\triangle AFH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠FAH}\\{AH=AH}\\{∠AHE=∠AHF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEH$≌$\triangle AFH\left(ASA\right).$
$\therefore AE=AF$.
$(2)\because AC=6$，$CE=4$，
$\therefore AF=AE=AC-CE=6-4=2$.
$\because \angle C=90$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore AB=2AC=12$，
$\therefore BF=AB-AF=12-2=10$.

$(3)$由（1）中结论$\triangle AEH$≌$\triangle AFH$可知，$AD$垂直平分$EF$，故$DE=DF$.
则当$\triangle DEF$为直角三角形时，必是等腰直角三角形.
那么只能是$\angle EDF=90^{\circ}$，
$\because \angle B=30^{\circ}$，$AD$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAD=\frac{1}{2}∠CAB=30^{\circ}$，
$\therefore CD=\tan 30^{\circ}\times AC=2\sqrt{3}$，
设$CE=x$，由勾股定理得：$DE=\sqrt{12+{x}^{2}}$.
又$AE=AF=6-x$，$\angle CAB=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEF$为等边三角形，
$\therefore AE=AF=EF=6-x$.
$\because \triangle DEF$为直角三角形.
$\therefore EF^{2}=DF^{2}+DE^{2}$，即$\left(6-x\right)^{2}=\left(12+x\right)^{2}+\left(12+x\right)^{2}$，
解得：$x_{1}=4\sqrt{3}-6$，$x2=-4\sqrt{3}-6($不合题意，舍去)。
$\therefore BF=12-\left(6-x\right)=6+x=6+4\sqrt{3}-6=4\sqrt{3}$.