D

若$a \gt b$，则$1-2a \lt 1-2b$，故$A$是假命题，不符合题意；
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故$B$是假命题，不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故$C$是假命题，不符合题意；
一个正多边形的内角和为$720^{\circ}$，则这个正多边形有$6$条边，它的一个外角等于$360^{\circ}\div 6=60^{\circ}$，故$D$是真命题，符合题意；
故选：$D$.