【问题出示】
$(1)$如图①,等腰$\triangle ABC$中,$\angle BAC=30^{\circ}$,$BC=BA=16$,点$M$是直线$AC$上的动点,线段$BM$的最小值是______.

【问题探究】
$(2)$如图②,线段$BM$最短时,在（1）的条件下,线段$BN$是$\triangle ABM$的角平分线,点$P$、$Q$分别在边$BN$、$BM$上运动,连接$MP$、$QP$,$MP+QP$的最小值是
【问题拓展】
$(3)$如图③,线段$BM$最短时,在（1）的条件下,点$E$在边$CM$上运动,连接$BE$,将线段$BE$绕点$B$顺时针旋转$60^{\circ}$,得到线段$BF$,连接$MF$,求线段$MF$的最小值.
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准,南北朝向的小区,各栋楼之间的距离不小于前排楼高的$0.7$倍,例如:前排房屋的楼高是$20$米,那么后排房屋与前排房屋的距离至少要$14$米才符合要求.
$(4)$如图④,是某居民小区的部分平面示意图,四边形$ABCD$各边长都为$90$米,且两组对边分别平行,$\angle B=120^{\circ}$,$DE$长$30$米,$AB$边上任意一点$F$,计划在线段$EF$、$FG$、$DG$上修建三条小路,点$G$处修建业主活动楼,其中$EF=FG$,且$\angle EFG=60^{\circ}$.小区最南边一排（即线段$AD$处）楼高$70$米,当线段$DG$取最小值时,点$G$处的业主活动楼到线段$AD$处楼房的距离是否符合楼间距标准?请说明理由.