$(1)$证明：①$\because \angle DCE=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACE=\angle BCD$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$，
$\left\{\begin{array}{l}CA=CB\\∠ACE=∠BCD\\ CE=CD\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BCD\left(SAS\right)$；
②$\because \triangle ACE$≌$\triangle BCD$，
$\therefore BD=AE$，$\angle CDB=\angle E=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ADB=\angle EDC+\angle CDB=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADB$中，$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$2AC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore AE^{2}+AD^{2}=BD^{2}+AD^{2}=2AC^{2}$；
$(2)$如图，过点$E$作$EH\bot AC$于$H$，$EN\bot BC$于$N$，

又$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$CNEH$是矩形，
$\therefore EH=CN$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$CA=CB$，
$\therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}$，
$\because EH\bot AC$，$EN\bot BC$，
$\therefore \triangle AHE$和$\triangle ENB$是等腰直角三角形，
$\therefore AH=HE$，$EN=BN$，
$\because AE=3$，
$\therefore HE=AH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CN=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore EN=\sqrt{CE{}^{2}-CN{}^{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BN=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BC=CN+BN=5\sqrt{2}$.

$(1)$证明：①$\because \angle DCE=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACE=\angle BCD$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$，
$\left\{\begin{array}{l}CA=CB\\∠ACE=∠BCD\\ CE=CD\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BCD\left(SAS\right)$；
②$\because \triangle ACE$≌$\triangle BCD$，
$\therefore BD=AE$，$\angle CDB=\angle E=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ADB=\angle EDC+\angle CDB=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADB$中，$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$2AC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore AE^{2}+AD^{2}=BD^{2}+AD^{2}=2AC^{2}$；
$(2)$如图，过点$E$作$EH\bot AC$于$H$，$EN\bot BC$于$N$，

又$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$CNEH$是矩形，
$\therefore EH=CN$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$CA=CB$，
$\therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}$，
$\because EH\bot AC$，$EN\bot BC$，
$\therefore \triangle AHE$和$\triangle ENB$是等腰直角三角形，
$\therefore AH=HE$，$EN=BN$，
$\because AE=3$，
$\therefore HE=AH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore CN=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore EN=\sqrt{CE{}^{2}-CN{}^{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BN=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BC=CN+BN=5\sqrt{2}$.