（1）解方程$x+3=0$得：$x=-3$，
由条件可知$x=-3$是关于$x$的方程$5x-3\left(x+k\right)=-12$的解，
$\therefore 5\times \left(-3\right)-3\left(-3+k\right)=-12$，
解得$k=2$；
$(2)\because |m-5|+\left(n-1\right)^{k}=0$，即$|m-5|+\left(n-1\right)^{2}=0$，
$\therefore m-5=0$，$n-1=0$，
$\therefore m=5$，$n=1$，
$\therefore m+n=5+1=6$.

（1）解方程$x+3=0$得：$x=-3$，
由条件可知$x=-3$是关于$x$的方程$5x-3\left(x+k\right)=-12$的解，
$\therefore 5\times \left(-3\right)-3\left(-3+k\right)=-12$，
解得$k=2$；
$(2)\because |m-5|+\left(n-1\right)^{k}=0$，即$|m-5|+\left(n-1\right)^{2}=0$，
$\therefore m-5=0$，$n-1=0$，
$\therefore m=5$，$n=1$，
$\therefore m+n=5+1=6$.