$\left(1\right)\because |x-2|+|x+5|=|x-2|+|x-\left(-5\right)|$，
$\therefore$式子$|x-2|+|x+5|$表示$x$到$2$的距离与到$-5$的距离之和，
可知当$x$在$2$和$-5$之间时，距离之和最小，最小值为$2-\left(-5\right)=7$，
$\therefore |x-2|+|x+5|$的最小值为$7$，
故答案为：$7$；
$(2)\because 2|x-3|+|x+6|+|x+4|=2|x-3|+|x-\left(-6\right)|+|x-\left(-4\right)|$，
$\therefore$式子$2|x-3|+|x+6|+|x+4|$表示$x$到$3$的距离的$2$倍与到$-6$、$-4$的距离之和，
如图，

可知当$x$在$-4$的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为$2|3-\left(-4\right)|+|-4-\left(-6\right)|=2\times 7+2=16$，
即$2|x-3|+|x+6|+|x+4|$的最小值为$16$，
故答案为：$16$.

$\left(1\right)\because |x-2|+|x+5|=|x-2|+|x-\left(-5\right)|$，
$\therefore$式子$|x-2|+|x+5|$表示$x$到$2$的距离与到$-5$的距离之和，
可知当$x$在$2$和$-5$之间时，距离之和最小，最小值为$2-\left(-5\right)=7$，
$\therefore |x-2|+|x+5|$的最小值为$7$，
故答案为：$7$；
$(2)\because 2|x-3|+|x+6|+|x+4|=2|x-3|+|x-\left(-6\right)|+|x-\left(-4\right)|$，
$\therefore$式子$2|x-3|+|x+6|+|x+4|$表示$x$到$3$的距离的$2$倍与到$-6$、$-4$的距离之和，
如图，

可知当$x$在$-4$的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为$2|3-\left(-4\right)|+|-4-\left(-6\right)|=2\times 7+2=16$，
即$2|x-3|+|x+6|+|x+4|$的最小值为$16$，
故答案为：$16$.