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八年级数学填空题一般
题目
如图,在等腰Rt△ABCRt\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,点MM,NN分别是边ABAB,BCBC上的动点,△BMN\triangle BMN与△B\’MN\triangle {B\’}MN关于直线MNMN对称,点BB的对称点为B\’{B\’}.当∠BMB\’=30∘\angle BMB\’=30^{\circ}且CN=MNCN=MN时,若CM⋅BC=2CM\cdot BC=2,则△AMC\triangle AMC的面积为______.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

如图，作MD⊥ACMD\bot AC于DD点，

∵△BMN\because \triangle BMN与△B\’MN\triangle {B\’}MN关于直线MNMN对称，
∴∠BMN=∠B\’MN\therefore \angle BMN=\angle {B\’}MN，
又∵∠BMB\’=30∘\because \angle BMB\’=30^{\circ}，
∴∠BMN=∠B\’MN=15∘\therefore \angle BMN=\angle {B\’}MN=15^{\circ}，
∵Rt△ABC\because Rt\triangle ABC中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，AC=BCAC=BC，
∴∠B=45∘\therefore \angle B=45^{\circ}，
∴∠MNC=∠BMN+∠B=60∘\therefore \angle MNC=\angle BMN+\angle B=60^{\circ}，
又∵CN=MN\because CN=MN，
∴△CMN\therefore \triangle CMN是等边三角形，
∴∠BCM=60∘\therefore \angle BCM=60^{\circ}，
∴∠ACM=∠ACB−∠BCM=30∘\therefore \angle ACM=\angle ACB-\angle BCM=30^{\circ}，
∴DM=12CM\therefore DM=\frac{1}{2}CM，
∴S△ACM=12AC⋅DM\therefore {S}_{△ACM}=\frac{1}{2}AC⋅DM
=12⋅BC⋅12CM=\frac{1}{2}⋅BC⋅\frac{1}{2}CM
=14×2=\frac{1}{4}×2
=12=\frac{1}{2}.
故答案为：12\frac{1}{2}.

解析

如图，作MD⊥ACMD\bot AC于DD点，

∵△BMN\because \triangle BMN与△B\’MN\triangle {B\’}MN关于直线MNMN对称，
∴∠BMN=∠B\’MN\therefore \angle BMN=\angle {B\’}MN，
又∵∠BMB\’=30∘\because \angle BMB\’=30^{\circ}，
∴∠BMN=∠B\’MN=15∘\therefore \angle BMN=\angle {B\’}MN=15^{\circ}，
∵Rt△ABC\because Rt\triangle ABC中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，AC=BCAC=BC，
∴∠B=45∘\therefore \angle B=45^{\circ}，
∴∠MNC=∠BMN+∠B=60∘\therefore \angle MNC=\angle BMN+\angle B=60^{\circ}，
又∵CN=MN\because CN=MN，
∴△CMN\therefore \triangle CMN是等边三角形，
∴∠BCM=60∘\therefore \angle BCM=60^{\circ}，
∴∠ACM=∠ACB−∠BCM=30∘\therefore \angle ACM=\angle ACB-\angle BCM=30^{\circ}，
∴DM=12CM\therefore DM=\frac{1}{2}CM，
∴S△ACM=12AC⋅DM\therefore {S}_{△ACM}=\frac{1}{2}AC⋅DM
=12⋅BC⋅12CM=\frac{1}{2}⋅BC⋅\frac{1}{2}CM
=14×2=\frac{1}{4}×2
=12=\frac{1}{2}.
故答案为：12\frac{1}{2}.

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