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八年级数学选择题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},直角∠EPF\angle EPF的顶点PP是BCBC的中点,两边PEPE,PFPF分别交ABAB,ACAC于点EE,FF.现给出以下四个结论:
①AE=CFAE=CF；②△EPF\triangle EPF是等腰直角三角形；③EF=APEF=AP；④S四边形AEPF=12S△ABCS_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
当∠EPF\angle EPF在△ABC\triangle ABC内绕顶点PP旋转时（点EE不与点AA,BB重合),上述结论中始终正确的是（ ）
A.
①②③
B.
①②④
C.
②③④
D.
①③④
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

B

解析

∵△ABC\because \triangle ABC中，AB=ACAB=AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，PP是BCBC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45∘\therefore \angle B=\angle C=\angle BAP=\angle CAP=45^{\circ}，AP=PC=PBAP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90∘\angle APC=\angle EPF=90^{\circ}，
∴∠EPF−∠APF=∠APC−∠APF\therefore \angle EPF-\angle APF=\angle APC-\angle APF，
∴∠APE=∠CPF\therefore \angle APE=\angle CPF，
在△APE\triangle APE和△CPF\triangle CPF中，
{∠EAP=∠C=45°AP=AP∠APE=∠CPF\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C=45°}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.，
∴△APE\therefore \triangle APE≌△CPF(ASA)\triangle CPF\left(ASA\right)，
∴AE=CF\therefore AE=CF，EP=PFEP=PF，
∴△EPF\therefore \triangle EPF是等腰直角三角形，∴\therefore①正确；②正确；
∵△APE\because \triangle APE≌△CPF\triangle CPF
∴S△APE=S△CPF\therefore S_{\triangle APE}=S_{\triangle CPF}，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=12S△ABC\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}，∴\therefore④正确；
∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，PP是BCBC的中点，
∴AP=12BC\therefore AP=\frac{1}{2}BC，
∵EF\because EF不是△ABC\triangle ABC的中位线，
∴EF≠AP\therefore EF\neq AP，故③错误；
即正确的有①②④，
故选：BB.

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