C

在$\triangle ABC$中，$AB=13$，$BC=5$，$AC=12$，
$\because AB^{2}=13^{2}=169$，$BC^{2}+AC^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，
$\therefore AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，
$\therefore \angle C=90^{\circ}$，
故选：$C$.