C

由数轴图可知，
$-2 \lt a \lt -1$，$0 \lt b \lt 1$，
$\therefore a+1 \lt 0$，$1-b \gt 0$，$b-a \gt 0$，
根据绝对值的定义可知，
$|a+1|-|1-b|+|b-a|$
$=-\left(a+1\right)-\left(1-b\right)+\left(b-a\right)$
$=-a-1-1+b+b-a$
$=2b-2a-2$，
$\therefore$只有$C$选项符合题意.
故选：$C$.