如图$1$,已知正方形$ABCD$,把一个直角与正方形叠合,使直角顶点与一重合,当直角的一边与$BC$相交于$E$点,另一边与$CD$的延长线相交于$F$点时.

（1）证明:$BE=DF$；

（2）如图$2$,作$\angle EAF$的平分线交$CD$于$G$点,连接$EG$.证明:$BE+DG=EG$；

（3）如图$3$,将图$1$中的"直角"改为"$\angle EAF=45^{\circ}$",当$\angle EAF$的一边与$BC$的延长线相交于$E$点,另一边与$CD$的延长线相交于$F$点,连接$EF$.线段$BE$,$DF$和$EF$之间有怎样的数量关系?并加以证明.