（1）证明：$\because$四边形$ABCD$为正方形，

$\therefore AB=AD$，$\angle BAD=\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$，

$\because \angle EAF=90^{\circ}$，即$\angle EAD+\angle FAD=90^{\circ}$，

而$\angle EAD+\angle BAE=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BAE=\angle DAF$，

在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，

$\left\{\begin{array}{}\angle BAE=\angle DAF \\ AB=AD \\ \angle ABE=\angle ADF\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ADF\left(ASA\right)$，

$\therefore BE=DF$；

（2）证明：$\because \triangle ABE$≌$\triangle ADF$，

$\therefore AE=AF$，

$\because \angle EAF$的平分线交$CD$于$G$点，

$\therefore \angle EAG=\angle FAG$，

在$\triangle AEG$和$\triangle FAG$中

$\left\{\begin{array}{}AE=AF \\ \angle EAG=\angle FAG \\ AG=AG\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle AEG$≌$\triangle FAG\left(SAS\right),$

$\therefore GE=GF$，

$\because GF=DG+DF$，

而$BE=DF$，

$\therefore BE+DG=EG$；

（3）$BE=DF+EF$.理由如下：

作$AG\bot AF$交$BC$于$G$点，如图$3$，

与（1）一样可证明$\triangle ABG$≌$\triangle ADF$，

$\therefore BG=DF$，$AG=AF$，

$\because \angle EAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle EAG=90^{\circ}-\angle EAF=45^{\circ}$，

与（2）一样可证明$\triangle AEG$≌$\triangle AEF$，

$\therefore EF=EG$，

$\because BE=BG+GE$，

$\therefore BE=DF+EF$.

（1）证明：$\because$四边形$ABCD$为正方形，

$\therefore AB=AD$，$\angle BAD=\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$，

$\because \angle EAF=90^{\circ}$，即$\angle EAD+\angle FAD=90^{\circ}$，

而$\angle EAD+\angle BAE=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BAE=\angle DAF$，

在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，

$\left\{\begin{array}{}\angle BAE=\angle DAF \\ AB=AD \\ \angle ABE=\angle ADF\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ADF\left(ASA\right)$，

$\therefore BE=DF$；

（2）证明：$\because \triangle ABE$≌$\triangle ADF$，

$\therefore AE=AF$，

$\because \angle EAF$的平分线交$CD$于$G$点，

$\therefore \angle EAG=\angle FAG$，

在$\triangle AEG$和$\triangle FAG$中

$\left\{\begin{array}{}AE=AF \\ \angle EAG=\angle FAG \\ AG=AG\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle AEG$≌$\triangle FAG\left(SAS\right),$

$\therefore GE=GF$，

$\because GF=DG+DF$，

而$BE=DF$，

$\therefore BE+DG=EG$；

（3）$BE=DF+EF$.理由如下：

作$AG\bot AF$交$BC$于$G$点，如图$3$，

与（1）一样可证明$\triangle ABG$≌$\triangle ADF$，

$\therefore BG=DF$，$AG=AF$，

$\because \angle EAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle EAG=90^{\circ}-\angle EAF=45^{\circ}$，

与（2）一样可证明$\triangle AEG$≌$\triangle AEF$，

$\therefore EF=EG$，

$\because BE=BG+GE$，

$\therefore BE=DF+EF$.