C

如图，
$\because a$、$b$、$c$都为正方形，
$\therefore BC=BF$，$\angle CBF=90^{\circ}$，$AC^{2}=3$，$DF^{2}=4$，
$\because \angle 1+\angle 2=90^{\circ}$，$\angle 2+\angle 3=90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DFB$中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠FDB}\\{∠1=∠3}\\{BC=FB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABC$≌$\triangle DFB\left(AAS\right)$，
$\therefore AB=DF$，
在$\triangle ABC$中，$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}=AC^{2}+DF^{2}=3+4=7$，
$\therefore b$的面积为$7$.
故选：$C$.

如图，根据正方形的性质得$BC=BF$，$\angle CBF=90^{\circ}$，$AC^{2}=3$，$DF^{2}=4$，再利用等角的余角相等得$\angle 1=\angle 3$，则可根据”$AAS$“证明$\triangle ABC$≌$\triangle DFB$，得到$AB=DF$，然后根据勾股定理得到$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}=AC^{2}+DF^{2}=7$，则有$b$的面积为$7$.

【点评】

本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.也考查了勾股定理和正方形的性质.