C

①如果$a \gt b$，如$1 \gt -2$，$|1|=1$，$|-2|=2$，但$|1| \lt |-2|$，那么$|a| \gt |b|$不一定成立，故①不正确.
②$0$既不是正数也不是负数，故②正确.
③根据绝对值的定义，当$a\geqslant 0$，则$|a|=a$，即$0$或正数的绝对值等于本身，故③不正确.
④根据等式的性质，$m+n=0$，则$m=-n$，那么$m$与$n$互为相反数，故④正确.
综上：正确的共$2$个.
故选：$C$.