如图,在平面直角坐标系中,点$A$在$y$轴上,点$B$、$C$在$x$轴上,$\angle ABO=30^{\circ}$,$AB=2$,$OB=OC$.

$(1)$如图$1$,求点$A$、$B$、$C$的坐标；
$(2)$如图$2$,若点$D$在第一象限且满足$AD=AC$,$\angle DAC=90^{\circ}$,线段$BD$交$y$轴于点$G$,求线段$BG$的长；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,若在第四象限有一点$E$,满足$\angle BEC=\angle BDC$.请探究$BE$、$CE$、$AE$之间的数量关系.