D

如图，

$\because CE$是高线，
$\therefore \angle AEC=90^{\circ}$，
若$\triangle ACE$为等腰三角形，则$EA=EC$，
$\therefore \angle EAC=\angle ECA=45^{\circ}$，
而题设中$\angle BAC$并不一定是$45^{\circ}$，
故选项$A$不符合题意；
$\because AB=AC \gt BC$，
若$\triangle ABF$为等腰三角形，则$FA=FB$，
$\therefore \angle FAB=\angle FBA=\angle 1$，
$\because$角平分线$BF$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，$\angle ABC=\angle ACB=2\angle 1$，
$\therefore 5\angle 1=180^{\circ}$，
$\therefore \angle 1=36^{\circ}=\angle BAC$，
而题设中$\angle BAC$并不一定是$36^{\circ}$，
故选项$B$不符合题意，同理选项$C$不符合题意；
$\because AB=AC$，中线$AD$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\because$角平分线$BF$，$CE$是高线，
$\therefore \angle IGH=\angle EGB=90^{\circ}-\angle 1$，$\angle GIH=90^{\circ}-\angle 2=90^{\circ}-\angle 1$，
即$\angle IGH=\angle GIH$，
$\therefore IH=HG$，
$\therefore \triangle GHI$一定为等腰三角形，
故选项$D$符合题意.
故选：$D$.