$(1)$如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CA=CB$,点$D$是斜边上一点,连接$CD$,将$CD$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$,得到线段$CE$,连接$BE$.若$AC=2\sqrt{2}$,$AB=4AD$,求$CD$的长；
$(2)$如图$2$,在四边形$ABCD$中,$\angle BCD=45^{\circ}$,$\angle ADB=90^{\circ}$,$AD=BD$,若$CB=3$,$CD=6$,求出$AC$的长；
$(3)$如图$3$,点$P$为正方形$ABDC$的对称中心,其边长为$6$,点$E$为平面内一点,且$CE=6$,$AE=3$,点$Q$为线段$AE$的中点,连接$PQ$,直接写出$PQ$的长度.