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八年级数学解答题一般
题目
如图,在平面直角坐标系xOyxOy中,点A(0,m)A\left(0,m\right),B(−2m,0)B\left(-2m,0\right),其中m>0m \gt 0,点CC在第四象限内,ACAC交xx轴于点DD.且AB⊥ACAB\bot AC,AB=ACAB=AC,连接OCOC,并作CE⊥yCE\bot y轴于点EE.

(1)(1)求证:∠ABO=∠CAO\angle ABO=\angle CAO；
(2)(2)求点DD的坐标；(用含mm的式子表示）
(3)(3)如图11,过点AA作直线ll∥xx轴,过点EE作EG⊥ABEG\bot AB于点GG,求证:直线EGEG,直线OCOC,直线ll相交于一点.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AO⊥BD\because AO\bot BD，AB⊥ACAB\bot AC，
∴∠BAO+∠ABO=90∘\therefore \angle BAO+\angle ABO=90^{\circ}，∠BAO+∠CAO=90∘\angle BAO+\angle CAO=90^{\circ}，
∴∠ABO=∠CAO\therefore \angle ABO=\angle CAO.
(2)(2)如图11.
{∠ABO=∠CAO∠AOB=∠CEA=90°AB=AC\left\{\begin{array}{l}∠ABO=∠CAO\\∠AOB=∠CEA=90°\\ AB=AC\end{array}\right.，
∴△ABO\therefore \triangle ABO≌△CAO(AAS)\triangle CAO\left(AAS\right)，
∴CE=AO=m\therefore CE=AO=m，OE=AE−AO=OB−AO=2m−m=mOE=AE-AO=OB-AO=2m-m=m，
考虑到点CC在第四象限，则C(m,−m)C\left(m,-m\right).
设直线ACAC的解析式为：y=kx+by=kx+b，
将点A(0,m)A\left(0,m\right)，C(m,−m)C\left(m,-m\right)代入上式，
得：{m=b−m=mk+b\left\{\begin{array}{l}m=b\\-m=mk+b\end{array}\right.，
解得：k=−2k=-2，b=mb=m，
∴\therefore直线ACAC的解析式是：y=−2x+my=-2x+m，
令y=0y=0，得0=−2x+m0=-2x+m，
∴x=m2\therefore x=\frac{m}{2}.
∴D(m2，0)\therefore D(\frac{m}{2}，0)；
(3)∵AB⊥AC(3)\because AB\bot AC，EG⊥ABEG\bot AB，
∴EG\therefore EG∥ACAC，
故可设直线EGEG的解析式为：y=−2x+ty=-2x+t，
由OE=mOE=m且OEOE在yy轴的负半轴可知，E(0,−m)E\left(0,-m\right)，
将点EE的坐标代入EGEG的解析式得，t=−mt=-m，
∴\therefore直线EGEG的解析式为y=−2x−my=-2x-m，
由直线ll∥xx轴，且直线ll经过点AA可知，直线ll的方程为：y=my=m，
联立{y=−2x−my=m\left\{\begin{array}{l}y=-2x-m\\ y=m\end{array}\right.，
求得直线EGEG与直线ll的交点坐标是(−m,m)\left(-m,m\right)，
∵O(0,0)\because O\left(0,0\right)，C(m,−m)C\left(m,-m\right)，
∴\therefore直线OCOC的方程为y=−xy=-x.
联立{y=−xy=m\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=m\end{array}\right.，
求得直线OCOC与直线ll的交点坐标是(−m,m)\left(-m,m\right)，
故直线EGEG，直线OCOC，直线ll相交于一点(−m,m)\left(-m,m\right).

解析

(1)(1)证明：∵AO⊥BD\because AO\bot BD，AB⊥ACAB\bot AC，
∴∠BAO+∠ABO=90∘\therefore \angle BAO+\angle ABO=90^{\circ}，∠BAO+∠CAO=90∘\angle BAO+\angle CAO=90^{\circ}，
∴∠ABO=∠CAO\therefore \angle ABO=\angle CAO.
(2)(2)如图11.
{∠ABO=∠CAO∠AOB=∠CEA=90°AB=AC\left\{\begin{array}{l}∠ABO=∠CAO\\∠AOB=∠CEA=90°\\ AB=AC\end{array}\right.，
∴△ABO\therefore \triangle ABO≌△CAO(AAS)\triangle CAO\left(AAS\right)，
∴CE=AO=m\therefore CE=AO=m，OE=AE−AO=OB−AO=2m−m=mOE=AE-AO=OB-AO=2m-m=m，
考虑到点CC在第四象限，则C(m,−m)C\left(m,-m\right).
设直线ACAC的解析式为：y=kx+by=kx+b，
将点A(0,m)A\left(0,m\right)，C(m,−m)C\left(m,-m\right)代入上式，
得：{m=b−m=mk+b\left\{\begin{array}{l}m=b\\-m=mk+b\end{array}\right.，
解得：k=−2k=-2，b=mb=m，
∴\therefore直线ACAC的解析式是：y=−2x+my=-2x+m，
令y=0y=0，得0=−2x+m0=-2x+m，
∴x=m2\therefore x=\frac{m}{2}.
∴D(m2，0)\therefore D(\frac{m}{2}，0)；
(3)∵AB⊥AC(3)\because AB\bot AC，EG⊥ABEG\bot AB，
∴EG\therefore EG∥ACAC，
故可设直线EGEG的解析式为：y=−2x+ty=-2x+t，
由OE=mOE=m且OEOE在yy轴的负半轴可知，E(0,−m)E\left(0,-m\right)，
将点EE的坐标代入EGEG的解析式得，t=−mt=-m，
∴\therefore直线EGEG的解析式为y=−2x−my=-2x-m，
由直线ll∥xx轴，且直线ll经过点AA可知，直线ll的方程为：y=my=m，
联立{y=−2x−my=m\left\{\begin{array}{l}y=-2x-m\\ y=m\end{array}\right.，
求得直线EGEG与直线ll的交点坐标是(−m,m)\left(-m,m\right)，
∵O(0,0)\because O\left(0,0\right)，C(m,−m)C\left(m,-m\right)，
∴\therefore直线OCOC的方程为y=−xy=-x.
联立{y=−xy=m\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=m\end{array}\right.，
求得直线OCOC与直线ll的交点坐标是(−m,m)\left(-m,m\right)，
故直线EGEG，直线OCOC，直线ll相交于一点(−m,m)\left(-m,m\right).

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