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八年级数学解答题一般
题目
如图,在直角△AEC\triangle AEC中,∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ},BB是边AEAE上一点,连接BCBC,OO为ACAC的中点,过CC作CDCD∥ABAB交BOBO延长线于DD,且ACAC平分∠BCD\angle BCD,连接ADAD.
(1)(1)求证:四边形ABCDABCD是菱形.
(2)(2)连接OEOE交BCBC于FF,∠ACD=27∘\angle ACD=27^{\circ},求∠CFO\angle CFO的度数.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵CD\because CD∥ABAB，
∴∠OAB=∠OCD\therefore \angle OAB=\angle OCD，
∵O\because O为ACAC的中点，
∴OA=OC\therefore OA=OC，
在△AOB\triangle AOB和△OCD\triangle OCD中，
{∠OAB=∠OCDOA=OC∠AOB=∠COD\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OCD}\\{OA=OC}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.，
∴△AOB\therefore \triangle AOB≌△OCD(ASA)\triangle OCD\left(ASA\right)，
∴OB=OD\therefore OB=OD，
又∵OA=OC\because OA=OC，
∴\therefore四边形ABCDABCD是平行四边形，
∵CD\because CD∥ABAB，
∴∠BAC=∠DCA\therefore \angle BAC=\angle DCA，
∵AC\because AC平分∠BCD\angle BCD，
∴∠BCA=∠DCA\therefore \angle BCA=\angle DCA，
∴∠BAC=∠BCA\therefore \angle BAC=\angle BCA，
∴AB=CB\therefore AB=CB，
∴\therefore平行四边形ABCDABCD是菱形；
(2)(2)∵CD\because CD∥AB,∠AEC=90∘AB,\angle AEC=90^{\circ}，
∴∠DCE+∠AEC=180∘\therefore \angle DCE+\angle AEC=180^{\circ}，
∴∠DCE=90∘\therefore \angle DCE=90^{\circ}，
∴∠OCE=90∘−∠ACD=90∘−27∘=63∘\therefore \angle OCE=90^{\circ}-\angle ACD=90^{\circ}-27^{\circ}=63^{\circ}，
由（1）可知，四边形ABCDABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD=27∘\therefore \angle ACB=\angle ACD=27^{\circ}，∠BCD=2∠ACD=54∘\angle BCD=2\angle ACD=54^{\circ}，
∴∠ECF=90∘−∠BCD=90∘−54∘=36∘\therefore \angle ECF=90^{\circ}-\angle BCD=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}，
∵∠AEC=90∘\because \angle AEC=90^{\circ}，OA=OCOA=OC，
∴OE=12AC=OC\therefore OE=\frac{1}{2}AC=OC，
∴∠OEC=∠OCE=63∘\therefore \angle OEC=\angle OCE=63^{\circ}，
∴∠CFO=∠OEC+∠ECF=63∘+36∘=99∘\therefore \angle CFO=\angle OEC+\angle ECF=63^{\circ}+36^{\circ}=99^{\circ}，
即∠CFO\angle CFO的度数为99∘99^{\circ}.

解析

(1)(1)证明：∵CD\because CD∥ABAB，
∴∠OAB=∠OCD\therefore \angle OAB=\angle OCD，
∵O\because O为ACAC的中点，
∴OA=OC\therefore OA=OC，
在△AOB\triangle AOB和△OCD\triangle OCD中，
{∠OAB=∠OCDOA=OC∠AOB=∠COD\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OCD}\\{OA=OC}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.，
∴△AOB\therefore \triangle AOB≌△OCD(ASA)\triangle OCD\left(ASA\right)，
∴OB=OD\therefore OB=OD，
又∵OA=OC\because OA=OC，
∴\therefore四边形ABCDABCD是平行四边形，
∵CD\because CD∥ABAB，
∴∠BAC=∠DCA\therefore \angle BAC=\angle DCA，
∵AC\because AC平分∠BCD\angle BCD，
∴∠BCA=∠DCA\therefore \angle BCA=\angle DCA，
∴∠BAC=∠BCA\therefore \angle BAC=\angle BCA，
∴AB=CB\therefore AB=CB，
∴\therefore平行四边形ABCDABCD是菱形；
(2)(2)∵CD\because CD∥AB,∠AEC=90∘AB,\angle AEC=90^{\circ}，
∴∠DCE+∠AEC=180∘\therefore \angle DCE+\angle AEC=180^{\circ}，
∴∠DCE=90∘\therefore \angle DCE=90^{\circ}，
∴∠OCE=90∘−∠ACD=90∘−27∘=63∘\therefore \angle OCE=90^{\circ}-\angle ACD=90^{\circ}-27^{\circ}=63^{\circ}，
由（1）可知，四边形ABCDABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACD=27∘\therefore \angle ACB=\angle ACD=27^{\circ}，∠BCD=2∠ACD=54∘\angle BCD=2\angle ACD=54^{\circ}，
∴∠ECF=90∘−∠BCD=90∘−54∘=36∘\therefore \angle ECF=90^{\circ}-\angle BCD=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}，
∵∠AEC=90∘\because \angle AEC=90^{\circ}，OA=OCOA=OC，
∴OE=12AC=OC\therefore OE=\frac{1}{2}AC=OC，
∴∠OEC=∠OCE=63∘\therefore \angle OEC=\angle OCE=63^{\circ}，
∴∠CFO=∠OEC+∠ECF=63∘+36∘=99∘\therefore \angle CFO=\angle OEC+\angle ECF=63^{\circ}+36^{\circ}=99^{\circ}，
即∠CFO\angle CFO的度数为99∘99^{\circ}.

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