C

连接$AP$，$AH$，如图所示：

$\because AB=AC$，点$H$为$BC$中点，
$\therefore AH\bot BC$，
$\therefore \triangle ABC$的面积是$30$，
$\therefore \frac{1}{2}BC\cdot AH=30$，
$\because BC=5$，
$\therefore AH=12$，
$\because MN$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore$点$B$关于直线$MN$的对称点为点$A$，
$\therefore AP=BP$，
$\therefore PB+PH=PA+PH\geqslant AH$，
$\therefore AH$的长为$PB+PH$的最小值，
$\therefore PB+PH$的最小值为$12$.
故选：$C$.