$(1)$证明：①如图：

$\because \triangle ABC$和$\triangle DCE$都是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$CD=CE$，$\angle ACB=\angle ECD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DCB=\angle ECA$，
$\therefore \triangle DCB$≌$\triangle ECA\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=AE$；
②$\because \triangle DCE$是等边三角形，
$\therefore \angle EDC=60^{\circ}$，$DE=CD$，
$\because \angle ADC=150^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle ADC-\angle EDC=90^{\circ}$，
$\therefore AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$，
由①知$AE=BD$，
$\therefore BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$；
$(2)$如图：

$\because \triangle ABC$和$\triangle DCE$都是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$CD=CE=DE$，$\angle ACB=\angle ECD=60^{\circ}=\angle CDE$，
$\therefore \angle DCB=\angle ECA$，
$\therefore \triangle DCB$≌$\triangle ECA\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=AE$，
$\because BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，
$\therefore AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}$，
$\therefore \angle ADE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=\angle ADE-\angle CDE=30^{\circ}$；
$\therefore \angle ADC$的度数为$30^{\circ}$；
$(3)$过点$A$作$AE\bot AD$，且$AE=AD$，连接$DE$，$CE$，如图：

$\because \angle EAD=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAE$，
$\because AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle ACE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，
$\because BD=\sqrt{23}$，
$\therefore CE=\sqrt{23}$，
$\because \angle EAD=90^{\circ}$，$AE=AD$，
$\therefore \triangle ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ADE=45^{\circ}$，
$\because \angle ADC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=90^{\circ}$，
$\therefore DE^{2}=CE^{2}-CD^{2}=(\sqrt{23})^{2}-(\sqrt{5})^{2}=18$，
在$Rt\triangle ADE$中，
$\because \angle EAD=90^{\circ}$，
$\therefore AE^{2}+AD^{2}=DE^{2}$，
$\therefore 2AD^{2}=18$；
$\therefore AD=3$.

$(1)$证明：①如图：

$\because \triangle ABC$和$\triangle DCE$都是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$CD=CE$，$\angle ACB=\angle ECD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DCB=\angle ECA$，
$\therefore \triangle DCB$≌$\triangle ECA\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=AE$；
②$\because \triangle DCE$是等边三角形，
$\therefore \angle EDC=60^{\circ}$，$DE=CD$，
$\because \angle ADC=150^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle ADC-\angle EDC=90^{\circ}$，
$\therefore AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$，
由①知$AE=BD$，
$\therefore BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$；
$(2)$如图：

$\because \triangle ABC$和$\triangle DCE$都是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$CD=CE=DE$，$\angle ACB=\angle ECD=60^{\circ}=\angle CDE$，
$\therefore \angle DCB=\angle ECA$，
$\therefore \triangle DCB$≌$\triangle ECA\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=AE$，
$\because BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，
$\therefore AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}$，
$\therefore \angle ADE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=\angle ADE-\angle CDE=30^{\circ}$；
$\therefore \angle ADC$的度数为$30^{\circ}$；
$(3)$过点$A$作$AE\bot AD$，且$AE=AD$，连接$DE$，$CE$，如图：

$\because \angle EAD=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAE$，
$\because AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle ACE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，
$\because BD=\sqrt{23}$，
$\therefore CE=\sqrt{23}$，
$\because \angle EAD=90^{\circ}$，$AE=AD$，
$\therefore \triangle ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ADE=45^{\circ}$，
$\because \angle ADC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=90^{\circ}$，
$\therefore DE^{2}=CE^{2}-CD^{2}=(\sqrt{23})^{2}-(\sqrt{5})^{2}=18$，
在$Rt\triangle ADE$中，
$\because \angle EAD=90^{\circ}$，
$\therefore AE^{2}+AD^{2}=DE^{2}$，
$\therefore 2AD^{2}=18$；
$\therefore AD=3$.