【问题提出】
$(1)$如图$1$,$\triangle ABC$和$\triangle DCE$都是等边三角形,点$D$在$\triangle ABC$内部,连接$AD$,$AE$,$BD$.
①求证:$BD=AE$；
②若$\angle ADC=150^{\circ}$,求证:$BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$；
【问题探究】
$(2)$如图$2$,$\triangle ABC$和$\triangle DCE$是等边三角形,点$D$在$\triangle ABC$外部,若$BD^{2}=AD^{2}+CD^{2}$仍然成立,求$\angle ADC$的度数；
【问题拓展】
$(3)$如图$3$,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$为$\triangle ABC$外一点.若$\angle ADC=45^{\circ}$,$BD=\sqrt{23}$,$CD=\sqrt{5}$,请直接写出$AD$的长.