由勾股定理知：
“生长”$1$次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为$2$；
“生长”$2$次，“生长”出的四个正方形面积和等于等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为$3$；
$\ldots \ldots$；
经过$n$次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是$n+1$；
经过$2024$次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是$2025$；
故答案为：$2025$.

由勾股定理知：
“生长”$1$次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为$2$；
“生长”$2$次，“生长”出的四个正方形面积和等于等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为$3$；
$\ldots \ldots$；
经过$n$次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是$n+1$；
经过$2024$次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是$2025$；
故答案为：$2025$.