B

由数轴上$a$、$b$的位置可知：
$a \lt 0 \lt b$，且$|a| \lt |b|$，$-b \lt -a$，$a+b \gt 0$；
$A$.由$a$到原点的距离比$b$到原点的距离短，得$|a| \lt |b|$，$A$错误；
$B$.由$a \lt b$，得$a-b \lt 0$，该选项正确，$B$符合题意；
$C$.由$a \lt 0 \lt b$，且$|a| \lt |b|$，得$a+b \gt 0$，选项$C$错误，不符合题意；
$D$.由$a \lt 0 \lt b$，且$|a| \lt |b|$，得$-b \lt a$，选项$D$错误，不符合题意；
故选：$B$.