A

$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=BC=CA$，$\angle B=\angle BCA=\angle CAB=60^{\circ}$.
①$\because$点$F$为$AC$的中点，
$\therefore CF=FA=\frac{1}{2}AC$，
又$CE=\frac{1}{2}BC$，$BC=AC$，
$\therefore CE=CF$，
$\therefore \angle E=\angle CFE$，
$\because \angle BCA=\angle E+\angle CFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle E=\angle CFE=30^{\circ}$，
$\therefore \angle AFG=\angle CFE=30^{\circ}$，
$\therefore \angle AGE=180^{\circ}-\angle CAB-\angle AFG=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore EG\bot AB$，
$\therefore$结论①正确；
②设$AG=a$，
由①正确可知：$\angle AGE=90^{\circ}$，$\angle AFG=30^{\circ}$，
$\therefore FA=2a$，$FG=\sqrt{3}a$，
$\therefore AC=BC=AB=4a$，
$\therefore BG=AB-AG=3a$，$BE=BC+CE=4a+2a=6a$，
在$Rt\triangle BEG$中，$BG=3a$，$BE=6a$，
由勾股定理得：$EG=\sqrt{B{E}^{2}-B{G}^{2}}=3\sqrt{3}a$，
$\therefore EF=GE-FG=3\sqrt{3}a-\sqrt{3}a=2\sqrt{3}a$，
$\therefore EF=2FE$，
$\therefore$结论②正确；
③过点$N$作$NH\bot AC$于点$H$，连接$BN$，如图所示：

$\because MN$为$BG$的垂直平分线，
$\therefore BN=GN$，$\angle GMN=90^{\circ}$，
$\because \triangle ABC$为等边三角形，$AD\bot BC$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAD=30^{\circ}$，$AD$为$BC$的垂直平分线，
$\therefore MN=HN$，$BN=CN$，
$\therefore GN=CN$，
在$Rt\triangle GMN$和$Rt\triangle CHN$中，
$\left\{\begin{array}{l}{GN=CN}\\{MN=HN}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle GMN$≌$Rt\triangle CHN\left(HL\right)$，
$\therefore \angle GNM=\angle CNH$，
$\because \angle BAD=\angle CAD=30^{\circ}$，$\angle GMN=90^{\circ}$，$NH\bot AC$，
$\therefore \angle ANM=\angle ANH=60^{\circ}$，
$\therefore \angle GNC=\angle ANG+\angle ANH+\angle GNM=\angle ANM+\angle ANH=120^{\circ}$，
$\therefore$结论③正确；
④设$AG=a$，$MN=b$，
由②可知：$BG=3a$，$AC=4a$，
由③可知：$NH=MN=b$，$MG=\frac{1}{2}BG=\frac{3a}{2}$，
$\therefore {S}_{△MGN}=\frac{1}{2}MG•MN=\frac{1}{2}•\frac{3a}{2}•b=\frac{3ab}{4}$，
又${S}_{△ANG}=\frac{1}{2}AG•MN=\frac{1}{2}•a•b=\frac{ab}{2}$，${S}_{△ANC}=\frac{1}{2}AC•NH=\frac{1}{2}•4ab=2ab$，
$\therefore {S}_{四边形AGNC}={S}_{△ANG}+{S}_{△ANC}=\frac{ab}{2}+2ab=\frac{5ab}{2}$，
$\therefore S_{四边形AGNC}\neq 4S_{\triangle MGN}$，
$\therefore$结论④不正确.
综上所述：正确的结论是①②③.
故选：$A$.