C

如图，连接$DM$，

在长方形$ABCD$中，$\angle ADC=90^{\circ}$，
$\because$点$M$是对角线$AC$的中点，
$\therefore AM=DM=CM$，
$\therefore \angle FAD=\angle MDA$，$\angle MDC=\angle MCD$，
$\because \triangle DCE$沿直线$DE$折叠，使点$C$落在对角线$AC$上的点$F$处，
$\therefore DF=CD$，
$\therefore \angle DFC=\angle DCF$，
$\because MF=CD$，
$\therefore MF=FD$，
$\therefore \angle FMD=\angle FDM$，
$\because \angle DFC=\angle FMD+\angle FDM$，
$\therefore \angle DFC=2\angle FMD$，
$\because \angle DMC=\angle FAD+\angle ADM$，
$\therefore \angle DMC=2\angle FAD$，
$\therefore \angle DFC=4\angle FAD$，
设$\angle DAF=x$，则$\angle ADM=x$，$\angle CDM=\angle DCF=\angle DFC=4x$，
$\because \angle ADM+\angle CDM=\angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore x+4x=90^{\circ}$，
解得：$x=18^{\circ}$，
即$\angle DAF=18^{\circ}$.
故选：$C$.