C

由数轴可知：$a \lt -1 \lt -b \lt 0 \lt b \lt 1 \lt -a$，
$A$、$a+b \lt 0$，故$A$不符合题意.
$B$、$a-b \lt 0$，故$B$不符合题意.
$C$、$\left(a-b\right)\left(a+b\right) \gt 0$，故$C$符合题意.
$D$、$\frac{a}{b} \lt 0$，故$D$不符合题意.
故选：$C$.